高中数学研究项目--导数在生活中的应用。

浙江省萧山中学的沈建刚

一.导言

著名数学家吴文俊院士在《数学教育不能从培养数学家的要求出发》一文中指出，“任何数学都要讲逻辑推理，但这只是问题的一个方面，更重要的是用数学解决问题，解决日常生活和其他学科中的数学问题。学校给的问题都有答案。已知的和验证的都是清楚的，也是必须要做的。但是，当你来到社会，你所面临的大部分问题，你事先并不知道答案，甚至不知道是否会有答案。这就需要培养学生的创造力，学习处理各种实际问题的数学方法。"

在新编写的普通高中数学教学大纲中，研究性课题被描述为:对一些数学问题的深入探讨，或者从数学的角度对日常生活和其他学科中的一些问题进行研究。数学研究项目强调学生的实践活动，注重学生对问题的主动探索，倡导学习过程的真实体验，在开放自由的环境中全面培养学生的数学素养和人文素养，实现人的内在提升和主体解放。

数学如何实施研究性学习？如何有效改变老师的教学方式和学生的学习方式？这是目前每个数学教师面临的难题，也是当前数学教学改革的关键。将研究课题纳入教学大纲，有效地促进了研究性学习的开展，使教师对研究性学习的认识更加具体和明确，使其实施更具方向性和安全性。我校数学组全体教师通过学习新大纲中的研究项目理论，结合我校实际，运用现代信息技术，在开展研究项目方面做了一些尝试。

二、对学科目标的理解

我国开设研究性学习的目的是改变学生被动接受知识的方式，构建开放的学习环境，提供多渠道获取和应用知识的机会，形成积极的学习态度和良好的学习策略，培养创新精神和实践能力。在这个总目标下，渗透到数学学科中，大纲对研究课题提出了四个具体的教学目标:

学会提问，明确探究方向。研究项目注重学生的主体地位，学生作为实践主体，根据自己的兴趣和需要，从生活中选择和确定研究方向。这样就很容易变被动接受知识为主动获取知识，变简单的死记硬背为灵活运用和拓展。

体验数学活动的过程。建构主义学习理论认为，世界是客观存在的，但对世界的理解和意义是由个体自己决定的。学习不是一个简单的从无知到有知的过程，而主要是学习者在原有认知结构的基础上，通过对感知对象的全面、多方面的体验，主动建构意义的过程。因此，对抽象数学的把握和体验就显得尤为重要。

培养创新精神和应用能力。如何在学科教学中体现创新教育的要求，一直是改革的重点和难点。研究项目从教学的设计和组织上寻求突破，着眼于学生“如何学习”和“如何学习”，帮助学生获得健康完善的学习策略，使认知能力和非认知能力得到全面发展。使学生在亲身实践的过程中培养科学态度、创新意识和创新思维方法。

以研究报告或小论文的形式反映研究成果，学会交流。与其他学科相比，数学更注重表达，抽象的问题被形象地表达出来，这也是数学学习的重要组成部分。组织学生以撰写研究报告或小论文的形式反映研究成果，不仅使他们学会了研究报告和论文的格式，更重要的是使他们学会了数学表达。一个准确而科学的表述就相当于一个数学上的再创造。

第三，实施主体的几个切入点

开展研究项目，首要任务是选择学习内容，学习内容要以所学的数学知识为基础，紧密结合生活生产实际。主题既要激发学生的学习兴趣，又要考虑学生的学习特点和学习水平，让学生有所收获，有所思考。在实践中，我们主要从以下几点切入。

1，来自教材给出的研究课题、阅读材料、练习作业等地方。

新教材中，几乎每章之后都安排了阅读材料、练习作业或研究课题。阅读材料往往是对本章知识的产生和发展的简要介绍，可以要求学生通过网络、图书馆、专家访谈等方式收集资料并作出详细报告。实习作业往往会给学生一个思路，要求学生提出一个问题，设计解决方案，调查收集数据，分析解决问题。研究课题给出研究内容，要求学生进行研究并得出结论。

比如在新教材第一册第85页的阅读材料《对数与指数发展简史》中，我们引导学生在阅读材料的基础上，对自己感兴趣的事物做进一步的研究。作业结束后，有同学利用教材中给出的网址:www . 0-100 . com . cn/2/21/02/0741 . htm，对对数的发展做了进一步的探究，也有同学对材料中提到的数学家产生了兴趣。他们去图书馆查阅资料。

如果我们老师能做一个有良心的人，那么我们发现课本里有很多值得学生理解和学习的材料。通过对这些资料的挖掘，学生不仅可以了解数学发展史，还可以从一些数学大师那里学到课堂上学不到的东西。

2.从知识的外延切入。

由于教学大纲和教材内容的限制，教材中的很多内容无法进行过度的扩展和延伸，所以我们可以选择一些能够引起学生兴趣的内容，而不增加他们的负担作为课题。

比如在学习圆锥曲线的过程中，利用探照灯实验，让学生对抛物线的光学性质产生兴趣，激发学生的研究热情。

又如在“数列”一章的学习中，通过观察葵花籽的分布规律，引导学生认识斐波那契数列。

特别需要指出的是，知识的延伸要以不增加学生负担和学生兴趣为原则，同时不能以学生对延伸知识的掌握程度作为评价标准，而只能以学生在探究过程中的体验为标准。

3、从公开的问题切入。

开放式题型由于条件和结论的开放性，容易给学生广阔的思维空间和研究的自由，让他们在不同的经验和能力水平上提出自己的想法和方法。比如我们开展的“多彩中点轨迹”项目，在几何画板上设置一个场景图:圆O和圆上的动点P，定点A，要求学生在p a中探索中点M的轨迹。我们鼓励学生大胆改变自己的条件和结论，进行深入研究。这样，学生的发散思维可以得到充分的展示，学生可以有一个创新的体验。

4、来自于知识在生活中的应用。

新的数学教学大纲明确规定了学生解决实际问题的能力:会提出、分析和解决具有现实意义或在相关学科、生产、生活中的数学问题；会用数学语言表达问题和交流，形成运用数学的意识。可见，应用知识解决生活中的问题已经被理解为提高学生素质的有效途径。而且因为数学的广泛应用，生活的丰富多彩，学生可以找到很多自己感兴趣的数学问题。通过对这些问题的学习，他们不仅加深了对数学知识的理解，也从对社会问题的参与中增强了对社会的使命感和责任感。

比如家庭用电每度电0.53元，每瓶气53元(31.5 0.5公斤)。用电和用气谁更划算？

再举个例子:按照最新的银行利率，怎么存钱利润最大？

再比如:轮到楼层一户人家收水费。因为收费员抄的用户分表时间晚于自来水公司抄的楼层总表时间，所以分表总数多于抄表数。怎么处理比较合理？

我们不断提醒学生要兢兢业业，学会从身边寻找数学问题，鼓励学生大胆走进社会，学会调查，学会发现。

四、利用现代信息技术开展项目。

现代信息技术与学科的整合，实现了学习内容的呈现方式、学生的学习方式、教师的教学方式和师生的互动方式的变革，为学生的学习和发展提供了丰富的教学环境和强大的学习工具。办公工具、校园网、互联网和数学教学软件的合理使用为数学研究性课程的开发提供了有力的保障。

1，办公工具和软件的应用

微软的Office工具软件以其良好的界面、简单的操作和强大的功能，受到全世界用户的喜爱。在开展数学研究项目的过程中合理运用信息技术，将极大地方便学生收集和处理数学数据，丰富研究成果交流的方式，激发学生的研究热情。

在实践中我们知道，在高一的信息技术课程中，学生已经基本学会了Word和Excel的一些基本操作。同时，我们利用讲座的方式，让学生在Word和Powerpoint这种幻灯片制作软件中详细了解mathtype。虽然教师和学生花了一些时间来学习使用这些工具，但后来，我们发现工具的使用引起了学生的兴趣，促进了课程的发展，提高了研究的质量。比如0307班学生吴志坚在论文《让数字用图像说话——谈统计图的应用》中，利用Excel将采集到的各种车辆的交通计量表制作成生动直观的图形，从而展现其中隐藏的规律。在2004级7班、8班的研究课题“生命中的函数”的研讨会上，有合作小组利用Excel对收集到的数据进行处理，然后利用学习到的函数图像根据图像进行拟合，从而确定拟合函数，再利用拟合函数对未来事件进行预测。还有一些合作小组很好地利用Powerpoint，用演示文稿生动、直观、清晰地展示自己的研究过程，取得了很好的效果。

吴志坚用线形图绘制了一幅摩托车交通图。

吴志坚的饼状图显示了各种车辆的交通流量的百分比。

2、网络的使用

由于信息资源的丰富性、时空的无限开放性和信息资源的共享性，网络本身为数学研究课程的开发提供了一个极好的平台。在这个大平台上，学生接触到大量的信息，产生共鸣的机会也相应增加，从而使自己涉及的内容更贴近自己，对知识的探索更自觉、更深入、更内化。

在“生活中的利率”课题的开发过程中，我们在网络的应用方面做了一些尝试。

我们老师先做了这个题目的主题网站，网站开设了几个小栏目，在“问题提出”一栏设置了题目的问题场景，诱导学生的研究动机；在“例题”栏展示老师做的案例，激发学生灵感；在“链接”一栏，提供一些材料和探索途径，帮助学生确定探索方向。

我们做的研究性学习主题网站。

在实验中，0210班的林对中国工商银行网站上的个人住房贷款计算器()产生了兴趣，他想探究其计算公式。经过多次实验、计算和验证，他终于想出了公式:

其中:X为每月还款额(等额)，A为每月贷款利率，N为贷款期限(年)，M为贷款总额。

这个公式虽然很普通，但是来自于他自己的发现和探索，对于他来说已经超出了掌握知识本身的意义。网络给了学生发现问题和探索知识的机会。

高对银行的各种定期存款方式产生了兴趣。假设有10，000元要存10年，他发现储户可以选择一年期、三年期、五年期的存款方式。然后他分别计算了三种存款方式的利润，对比了一下单子，发现五年转存一次的方式利润最大。最后，他解释了银行这种利率设置的合理性。从对各种存款方式的理解，到利率、税率的计算，再到银行利率设定的考虑，所有动作都是学生自己掌握的。学生作为研究的主体，能真切感受到项目实施中的酸甜苦辣。

高三种存款方式(1*10表示一年存款10，中间9次转账)赚取的本息对比图。

课程网络化是技术发展的必然。在这方面，我们的探索还是很有限的，比如网络的远程交互功能，资源的共享。我们对网络的未来充满期待。我们设想建立自己的数学网站，开辟研究课题专栏，让研究课题可以被大家分享。

3.数学教学软件“几何画板”的应用。

几何画板以点、线、圆为基本元素。它通过对这些基本元素的变换、构造、计算、动画和跟踪，来显示或构造更复杂的图形，将更抽象的数学对象动画化，使人们知道数学对象在动态中不变的关系。在项目过程中，引导学生观察、猜测、验证、推理和交流，有助于激发学生探究数学问题的热情，保证探究的有效性，使学生积累丰富的数学经验，有利于数学创新意识的形成。

在开发“生活中的功能”这一主题的过程中，教师引导学生使用几何画板研究以下问题:

如图，某房地产公司计划在矩形地块ABCD上建设住宅公园，矩形GHCK。为了保护文物区△AEF，矩形公园的顶点G不能进入保护区。已知AB=200m，AD=160m，AE=60m，AF=40m。公园如何规划才能保证面积最大？

实践中，学生用画板以1∶4000的比例制作实际问题的模拟图，取G为线段EF的任意一点。利用画板的计算功能，计算线段PG的长度和矩形GHCK的面积。拖动g点，区域的大小会相应改变。当面积最大时，使用显示的面积值找到g点的位置。其中有一位同学，在坐标系中巧妙地做了一个以PG的长度为横坐标，以直角GHCK的面积为纵坐标的点，然后做了该点绕动点G的轨迹，面积随点G的变化规律就清晰地显现出来了。

在常规教学中，一般老师总是讲这类应用题，指导学生建立函数关系，利用函数的最大值来解题。表面上看，似乎可以理解。那么，如果站在学生的角度去思考，学生其实对给定的问题缺乏感性认识，忽视了对各种解题方法的探索，错过了有更多经验的机会。

中学生在“公园最大面积研究”中制作的模拟图

当学生使用画板解决问题时，我们发现他们没有建立函数关系。而是用实验的方法，借助画板的快速运算功能，计算出g点在各个位置的面积，最终找到答案，用最简单的方法解决问题。显然，制作图像的学生已经创造性地解决了问题。在实验过程中，我们也发现很多学生对答案不满意。相反，在实验中发现规律，促使他们去探索规律，使他们回归到使用函数的方法。但此时他们对函数方法的理解和对数学在生活中应用的理解却大相径庭，这大概就是设置研究课题的意义所在。

动词 （verb的缩写）项目实施程序和案例

不同的研究课题，由于涉及的内容不同，研究方法和实施程序也会有所不同。以下是我们做新教材“函数的实际应用”后面的实习作业时的实施步骤。我们认为它具有代表性。

1，宣传动员；通过展示上一个同学做的实习“函数的实际应用”，可以激发学生的参与欲望，让他们了解实习的大致操作思路。

2.学习先验知识；软件Powerpoint、Excel、word、几何画板、拟合函数、数据统计等相关知识学习。

3、合作团队的组成、任务布局；以自由组合的形式组建3至7人的项目组，选举组长，讨论项目内容和实施方案，宣布外调纪律和要求。

4、调查、研究，掌握第一手材料；按计划去外面调查，或者上网或者跑到图书馆查资料。

5.整理和分析数据，制作图像和表格；对收集到的数据进行初步整理，然后利用几何画板或Excel制作图像或表格。

6.将得到的图像与学习到的函数进行拟合，通过计算得到拟合函数的解析表达式；如果找不到合适的简单函数，建议学生用分段函数来拟合。

7.利用得到的函数关系对一些实际问题做一些初步的期望；得到函数关系的主要目的是做一些预期，可以鼓励学生对实际问题做出各种大胆的预期，并建议学生对预期结果做出合理的解释。

8.写实习报告；可以按照教材的格式写实习报告，也可以自己写。

9、使用Powerpoint制作成果报告文稿，开成果交流会。根据实践报告并结合研究经验，要求各项目组进行陈述，在交流会上进行展示和交流。展示老师要让学生扮演主角，动员每个项目组一人发言，鼓励其他学生提问。精彩的演讲，幽默的提问，都能让每个学生感受到项目带来的知识和快乐。

案例:萧山区城镇居民家庭人均收入调查报告(0501班陈凯组)

调查数据(萧山区城镇居民家庭人均收入1986-1998)

绘图分析:

函数拟合:

现象分析:根据图片，人均收入增长可以分为三个阶段:

1的增长率。86-92比较慢，因为当时改革力度不够，思想没有完全开放。

2.1992年至1994年，由于1992年邓小平南方谈话和中共十四大的召开，改革开放达到高潮，增长速度明显加快。

3.从1994年到1998年，随着收入基数的提高，增速有所放缓，但仍以较快的速度增长。

据预测，萧山区城镇家庭人均收入将继续以较快的速度增长。

六、实施该项目的意义

1，科研项目能激发学生活力。从课题的确立，到课题的组织实施，成果的交流，学生们都投入了极大的热情，这是我们平时教学活动中很少见到的学习氛围，因为他们要自己找课题，自己出去调研，富有挑战性的工作刺激着他们，激发着他们的活力。很多时候，我们真的很惊讶于学生的创造力。在完成函数实际应用的过程中，如果一个学生研究一个歌手的歌曲前几周的票数，然后得出函数规律，然后用函数预测歌曲掉榜的时间。再比如，有同学收集了近年来中国、日本、美国的GDP增长率，然后预测中国GDP赶超美国、日本的时间。不同的学生根据自己的不同爱好做自己感兴趣的事情，很好的调动了他们的积极性。

2.研究项目给每个学生锻炼各种能力的机会。研究项目的实施是检验学生各种能力的过程。项目的实施需要团队成员的密切配合，需要学生学会相处、沟通、合作。出去调查需要社交能力，写调查报告，交流结果，需要的是表达能力。

3.研究项目加深了学生对数学本质的理解。学生在实际生活中运用数学方法和思想解决问题，对他们来说是很好的启发，有利于理解数学，也促使他们更好地学习数学知识、方法和思想。

七。由话题引发的思考

在实践中，我们发现一个项目的开展往往需要很多过程，比如事前动员、预备知识培训、项目的组织与启动、指导实施、成果交流等等。中间不仅需要学科老师的参与，还需要学校各个部门的配合。它是一项系统的工作，需要学校的统筹规划和合理安排。

为了给学生更多的体验机会，项目的开发必须有充足的时间保证，但在实践中，很多时候，教师也无力做到这一点。因为在沉重的课业负担下，学生实在顾不上学科，更谈不上深入探索和广泛接触。研究课题呼唤自由的学生和自由的天空。

在指导学生的过程中，我们最深的体会就是老师要学习，现代信息技术及相关学科的知识需要我们储备和更新。“要给学生一杯水，老师必须有一桶自来水。”

参考

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