圈子的奥秘是什么?
(一个几何图形)
在平面中,一个动点以一定长度绕某一点旋转形成的封闭曲线称为圆。
在同一平面上,到一个固定点的距离等于一个固定长度的点的集合称为圆。圆可以表示为集合{m ||| mo | = r},圆的标准方程是(x-a)?+ (y - b)?= r?。其中(a,b)是圆心,r是半径。
圆是圆锥曲线,它是从一个平行于圆锥体底部的平面上切下一个圆锥体而得到的。
圆是一种几何图形。根据定义,圆规通常用来画圆。同一个圆的内圆的直径和半径长度总是相同的,圆有无数个半径和直径。圆是具有轴对称和中心对称的图形。对称轴是直径所在的直线。同时,圆是“正无限多边形”,“无限”只是一个概念。多边形的边越多,它的形状、周长和面积就越接近圆形。所以世界上没有真正的圆,圆其实只是一个概念上的图形。
小路
1.连接圆心和圆上任意一点的线段称为半径,字母表示为r(半径)。
2.两端在圆上通过圆心的线段称为直径,字母表示为d(直径)。带直径的直线是圆的对称轴。
圆的直径d=2r
弓弦
1.连接圆上任意两点的线段称为弦。同一圆中最长的弦是直径。直径所在的直线就是圆的对称轴,所以圆的对称轴有无数条。
弧
1.圆上任意两点之间的部分称为弧,弧的缩写为“⌒”;
2.大于半圆的弧称为最优弧,小于半圆的弧称为次优弧,所以半圆既不是最优弧,也不是次优弧。最优弧一般用三个字母表示,次优弧一般用两个字母表示。最优弧是圆心角大于180度的弧,次优弧是圆心角小于180度的弧。
3.在同一个圆或等圆内,两条可以互相重叠的弧称为等弧。
角落
1.顶点在圆心上的角度叫做圆心角。
2.顶点在圆周上,两边又与圆相交的角叫圆周角。圆的角度等于同一圆弧的圆心角的一半。
圆周率
圆的周长与直径的长度之比叫做圆周率。它是一个无限循环小数,通常用字母表示。
说,
≈3.1415926535 ...计算时通常取近似值3.14。我们可以说圆的周长是直径的π倍,或者说大约是直径的3.14倍,但不能直接说圆的周长是直径的3.14倍。
形状
1.由弦和它对着的弧所包围的图形叫做拱。
2.由圆心角的两个半径和一个与圆心角对应的圆弧围成的图形称为扇形。
表现
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圆-⊙;半径—r或r(由圆环中外环的半径表示的字母);圆心——o;弧-⌒;直径—d?;
扇形弧长-l?;周长-c?;面积-s。
计算公式
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圆的周长公式
圆的周长:
圆周的一半c=πr
半圆的周长c=πr+2r。
圆的周长公式的推导(这方面涉及圆弧微分)
设圆的参数方程为
圆周在一周内的积分
替代品,可用
也就是
圆的面积公式
计算圆面积的公式:
或者
从圆的面积求直径:
把一个圆分成几个相等的部分,就可以拼成一个近似的长方形。矩形的宽度相当于圆的半径。
圆锥侧面积
(l是总线长度)
弧长角度公式
扇形弧长L=圆心角(弧度制)* R= nπR/180(θ为圆心角)(R为扇形半径)。
扇形面积S=nπ R?/360=LR/2(L是扇形的弧长)
圆锥底面半径r=nR/360(r为底面半径)(N为圆心角)
扇形面积公式
r是扇形的半径,n是圆弧的圆心角的度数,π是圆周率,l是扇形对应的弧长。
也可以将扇形所在圆的面积除以360,再乘以扇形圆心角的角度n,如下所示:
(L是弧长,R是扇形半径)
推导过程:S=πr?×L/2πr=LR/2
(L=│α│ R)
位置
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点与圆的位置关系
①P在o的圆外,则PO & gtr .
②P在圆o上,则po = r。
③P在圆o内,则po
反之亦然。
平面中,点P(x0,y0)和圆(x-a)是什么?+(y-b)?=r?判断位置关系的一般方法是:
①如果(x0-a)怎么办?+(y0-b)?& ltr?,那么p在圆里。
②如果(x0-a)怎么办?+(y0-b)?=r?,则p在圆上。
③如果(x0-a)呢?+(y0-b)?& gtr?,则p在圆外。
直线与圆的位置关系
①一条直线和一个圆没有共同点,这叫分离。AB与圆O分开,d & gtr .
②一条直线和一个圆有两个公共点,叫做交点。这条直线叫做圆的割线。AB与O,d相交
③一条直线和一个圆只有一个公共点,叫做相切。这条直线叫做圆的切线,这个唯一的公共点叫做切点。圆心和切点之间的连线垂直于切线。AB与⊙O相切,d = r. (d是圆心到直线的距离)
平面中直线Ax+By+C=0和圆x?+y?判断+Dx+Ey+F=0位置关系的一般方法是:
1.从Ax+By+C=0可以得到y=(-C-Ax)/B(其中B不等于0)代入x?+y?+Dx+Ey+F=0,就成了关于x的方程。
如果B2-4ac >: 0,圆和直线有两个公共点,即圆和直线相交。
如果b2-4ac=0,圆和直线有1个公共点,即圆与直线相切。
如果B2-4ac
2.如果B=0,即直线为Ax+C=0,即x=-C/A,平行于Y轴(或垂直于X轴),把X?+y?+Dx+Ey+F=0进(x-a)?+(y-b)?=r?设y=b,此时找出两个X值x1和x2,指定X1
当x =-c/a时
当x1
圆与圆位置的关系
(1)没有共同点,一个圆在另一个圆之外叫外,在它之内叫内。
(2)如果只有一个公共点,则称一个圆外切于另一个圆,内接于另一个圆。
(3)有两个公共点叫做交集。两个圆的圆心之间的距离叫做中心距。
设两个圆的半径分别为r和r,且r > r,中心距为P,则结论为:外距为P & gtr+r;外切p = r+r;包含P & ltr-r;
内割p = r-r;相交r-r
圆的性质
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(1)圆是轴对称图形,其对称轴是通过圆心的任意一条直线。圆也是中心对称图形,其对称中心是圆心。
竖径定理:垂直于弦的直径平分弦,平分弦对面的两条弧。
竖径定理逆定理:平分一条弦的直径(不是直径)就是垂直于弦,平分与弦相对的两条弧。
⑵圆心角和圆心角的性质和定理。
(1)在同一个圆或同一个圆内,如果两个圆心角、两个圆周角、两组圆弧、两个弦、两个弦之间的距离中的一个相等,则它们对应的其他组分别相等。
(2)在同一圆或等圆内,等弧的圆周角等于它所面对的圆心角的一半(圆周角和圆心角在弦的同一侧)。
直径的圆周角是直角。90度圆周角对着的弦是直径。
圆心角的计算公式为θ=(L/2πR)×360 = 180 L/πR = L/R(弧度)。
即圆心角的度数等于它所面对的圆弧的度数;圆的角度等于它所对着的弧的角度的一半。
(3)如果一个弧的长度是另一个弧的两倍,那么它所对的圆周角和圆心角也是另一个弧的两倍。
⑶关于外接圆和内切圆的性质和定理。
①三角形有唯一的外接圆和内切圆。外接圆的圆心是三角形各边的中垂线的交点,到三角形三个顶点的距离相等;
(2)内切圆的圆心是三角形内角平分线的交点,到三角形三边的距离相等。
③R=2S△÷L(R:内切圆的半径,s:三角形的面积,L:三角形的周长)。
(4)两个相切圆的连线的交点。(连线:两个中心相连的直线)
⑤圆O上的弦PQ的中点M,若交点M为两条弦AB、CD,弦AC、BD分别在X、Y上与PQ相交,则M为XY的中点。
(4)若两圆相交,则连接两圆圆心的线段(或直线)垂直平分公共弦。
(5)弦切角的度数等于它所夹弧的度数的一半。
(6)圆内角的度数等于该角所对的弧的度数之和的一半。
(7)圆的外角的度数等于这个角度切割的两个圆弧的度数之差的一半。
(8)周长相等,圆的面积大于正方形、长方形、三角形的面积。
相关定理
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切线定理
垂直于切点的半径;穿过半径外端并垂直于该半径的直线是该圆的切线。
切线的判断方法:通过半径外端并垂直于此半径的直线为圆的切线。
切线的属性:
(1)通过切点并垂直于切点半径的直线就是圆的切线。
(2)垂直于切点的直线必须通过圆心。
(3)圆的切线垂直于通过切点的半径。
切线长度定理
从圆外的一点到圆的两条切线的长度等。,该点和圆心之间的连线平分切线的夹角。
下面简单介绍一下切线长定理的证明。
想证明AC?=?AB,就证明△ABO≔△ACO。
设OC和OB是圆的两个半径,而∠ABO?= ∠ACO=90
在Rt△ABO和Rt△ACO中。
∴Rt△ABO?≌ Rt△ACO(H.L)
∴AB=AC,且∞∠AOB =∠AOC,且∞∠OAB =∠oac。
切线割线定理
切割线定理的证明;
圆的切线与割线相交于P点,切线相交于C点,割线相交于A、B两点,所以PC 2 = PA Pb。
设ABP为⊙O的割线,PT为⊙O的切线,切点为T,则PT?=PA PB
证明:连接在,BT
∫∠PTB =∣∠Pat(弦切角定理)
∠APT=∠TPB(公共角)
∴△PBT∽△PTA(两个角相等,两个三角形相似)
那么Pb: pt = pt: AP。
即:PT?=PB PA
割线定理
割线定理:从圆外的一点引出圆的两条割线到每条割线与圆的交点的距离的乘积相等。
一条直线和一条圆弧有两个公共点,所以我们说这条直线就是这条曲线的割线。
与割线相关的定理有割线定理和割线定理。它经常用在关于圆的问题中。
类似割线定理:两条割线相交于点P,割线M相交于点A1 B1,割线N相交于点A2 B2,则PA1 pb1 = PA2 pb2。
如图,直线ABP和CDP是从P点画出的⊙O的两条割线,证明PA Pb = PC PD。
证明:连接AD,BC≈A和
∠C与圆弧BD相反
从圆周角定理看∴ ∠DAP=∠BCP。
∫∠P =再次∠P
∴△ADP∽△CBP
(如果一个三角形的两个角等于另一个三角形的两个角,那么这两个三角形相似。)
∴AP:CP=DP:BP
也就是AP BP = CP DP。
垂直弦定理
垂直于弦的直径平分弦和它对着的两个弧。
设在⊙O,DC为直径,AB为弦,AB⊥DC在e点,AB与CD相交于e点,证明:AE=BE,弧AC=弧BC,弧AD=弧BD。
分别在A点和B点连接OA和OB。
∵OA和OB是⊙ O的半径。
∴OA=OB
△ OAB是一个等腰三角形。
∵AB⊥DC
∴AE=BE,∠AOE=∠BOE(三条线合一的等腰三角形)
∴弧AD=弧BD,∠AOC=∠BOC。
∴弧AC=弧BC
交替线段定理
弦切角等于相应的圆周角。(弦切角是切线与弦的夹角。)
已知直线PT切圆O在C点,BC和AC是圆O的弦..
验证:∠TCB=1/2∠BOC=∠BAC。
证明:设圆心为O,连接OC,OB,.
∠∠OCB =∠OBC
∴∠ocb=1/2*(180-∠中国银行)
∠∠BOC = 2∠BAC。
∴∠OCB=90 -∠BAC
∴∠BAC=90 -∠OCB
∠ TCB = 90-∠ OCB。
∴∠TCB=1/2∠BOC=∠BAC
综上所述:∠TCB=1/2∠BOC=∠BAC
圆的方程
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1,圆的标准方程:
在平面直角坐标系中,以点O(a,b)为圆心,以R为半径的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2。
特别地,以原点为中心,半径为r(r >;0)是x2+y2=r2。
2、圆的一般方程:
方程x2+y2+Dx+Ey+F=0可以转化为(x+D/2)2+(y+E/2)2=(D2+E2-4F)/4。因此,有:
(1),当D2+E2-4f >: 0时,方程表示以(-D/2,-E/2)为圆心,(D2+E2-4F)/2为半径的圆;
(2)当D2+E2-4F=0时,方程代表一个点(-D/2,-e/2);
③、当D2+E2-4f时
3、圆的参数方程:
以点O(a,b)为圆心,R为半径的圆的参数方程为x=a+r*cosθ,y=b+r*sinθ,其中θ为参数。
圆的端点公式:
如果已知两点A (A1,B1)和B (A2,B2),则取线段AB为直径。
圆的方程是(X-a 1)(X-A2)+(Y-b 1)(Y-B2)= 0。
圆的偏心率为e=0,圆上任意一点的曲率半径为r。
过圆x2+y2=r2上一点M(a0,b0)的切线方程为A0 * x+B0 * y = R 2。
圆(x2+y2=r2)外的一点M(a0,b0)引出圆的两条切线,这两条切线是A和B,那么这两点所在直线的方程为A0 * x+B0 * y = R 2。
4.圆的三点方程:圆通过三个不共线的点A (X1,Y1),B (X2,Y2),C (X3,Y3)的方程是[2]?
绘图模式
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一般可以用圆规画一个圆,或者用一根绳子,一端固定在地上,另一端转动,就可以把圆转出来。绳子越长,圆圈越大。
用AutoCAD画圆
在AutoCAD“绘图”下拉菜单中,列出了“圆”的六种绘制方法,简述如下:
(1)以圆心和半径画圆:用鼠标单击绘图命令,然后按照提示操作;
(2)利用圆心和直径画圆:用鼠标单击绘图命令,然后按照提示进行操作;
(3)用两点确定直径画圆:用鼠标单击绘图命令,然后按提示操作;
(4)确定直径,用三点画圆:用鼠标单击绘图命令,然后按照提示操作;
(5)画与两个图形对象相切并具有一定半径的圆:用鼠标单击绘图命令,然后按照提示进行操作。
Richtext控件绘制一个圆
定义一个数组,用来存储一个或多个点。
然后按照以下步骤实现
1生成一个控件(如Label)并调整相应的属性。
2.在内存中创建一个临时图像作为画布,使用GDI+和其他绘图在画布上绘制图像。
3.将生成的控件图像或BackGroundImage的属性值设置为步骤2中生成的图像。
4使用richtextbox 1 . controls . add方法添加控件(可以指定其坐标)。
5记录当前添加的控件在数组中的坐标(例如对应于第1个数据)。
6添加RichTextBox1。滚动事件代码,其中,
圆形(2张)
通过获取滚动条的值来计算添加控件的位置。
描述:控件可以由代码生成(推荐)
这种方法不同于网上流传的QQ聊天窗口中的RichTextBox方法。
属于简单类型
当参与滚动条滚动时,必须定义一个数组来重新定位目标控件。
历史导论
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圆是一种看似简单,但实际上非常奇妙的形状。古人最早是在农历十五从太阳和月亮那里得到圆的概念的。在18000年前的穴居人身上,他曾经在动物牙齿、砾石和石珠上钻孔,那些孔有的非常圆。在陶器时代,许多陶器是圆形的。圆形陶器是把粘土放在转盘上制成的。当人们开始纺纱时,他们制作圆形石锭子或陶瓷锭子。古人还发现搬运圆木时更容易滚动。后来他们在搬运重物的时候,就在大树、大石头下放一些圆木,滚来滚去,当然比搬运省力多了。
大约6000年前,美索不达米亚制造了世界上第一个轮子——一个圆形的木板。大约4000年前,人们在木架下固定圆形木板,这就是最初的汽车。
可以做圆,但不一定知道圆的性质。古埃及人认为圆圈是上帝赐予的神圣图形。直到两千多年前,中国的墨子(约公元前468- 376年)才给出了圆的定义:一个圆,一个等长的圆。意思是圆有圆心,圆心到圆周的长度相等。这个定义比希腊数学家欧几里德(约公元前330年-公元前275年)的定义早100年。
任何圆的周长与直径之比都是一个固定的数。我们称之为圆周率,用字母π表示。它是一个无限非循环小数,π = 3.1415926535...但在实际应用中,一般只取一个近似值,即π≈3.14。如果用C表示一个圆的周长:C=πd或C=2πr,在周算书上有说。美索不达米亚人制造第一个轮子的时候,只知道圆周率是3。魏晋刘徽在公元263年注释《九章算术》时,发现“三周径一”只是一个正六边形内接一个圆的周长与直径之比。他创立了割线技术,认为当圆内接的边数无限增加时,周长更接近圆的周长。他计算了一个圆内接的正3072多边形的圆周率π= 3927/1250。刘徽把极限的概念应用于解决实际的数学问题,这也是世界数学史上的一大成就。祖冲之(公元429-500年)在前人计算的基础上继续计算,发现圆周率在3.1415926到3.1415927之间,是世界上最早的精确到小数点后七位的数值。他还用两个小数值来表示圆周率:22/7叫做大约。在欧洲,直到1000年后的16世纪,德国人奥托(公元1573年)和安图奥尼Z才得到这个数值。如今有了电子计算机,圆周率已经计算到小数点后五万亿位。