多因一果——用这种方法教小学数学读书笔记13
？——“如何教好小学数学”读书笔记13
？围绕一条边旋转矩形，得到一个圆柱体。同样，将这个矩形一分为二得到一个直角三角形，绕其右边缘旋转得到一个圆锥体。根据我们的直观经验，旋转前的三角形是矩形的一半面积，它们同步旋转。因此，圆锥体的体积应该是圆柱体的一半。但事实上，为什么不是一半呢？原来这里涉及到因果关系。有些现象是一因一果，有些是多因一果。那么，数学上如何描述因果关系呢？
？从某种意义上说，数学是一门“关系”的学问。比如知道自然数“2”，其实就是知道它和“1”的关系。所谓矩形面积公式，其实就是表达一个矩形的面积和边的关系。
一般来说，关系分为两类。第一类叫做“合与分”的关系，概念的种属关系就属于这一类。第二类叫做“依赖和制约”，因果关系就属于这一类。研究因果关系时，往往有两种思维方式。一种是通过原因去寻找结果，叫做“因求结果”；另一种是通过结果找原因，叫做“执果找因”。
？举个例子，对于一个正方形，如果用边长叫做“找原因，找结果”，那么就知道用周长找边长就是“找原因，找结果”。这两个问题并不难解决，因为这是一个“一因一果”的问题。因为正方形的四条边都相等。)
？对于一个矩形，如果已知矩形的长和宽，那么就可以求出周长；另一方面，如果我们知道一个矩形的周长，如果我们想求出这个矩形的长和宽，就会有很多答案的不确定性，因为这是一个“两因一果”的问题。
？由此我想到福建罗关于“认识圆”讲座的导入阶段:先展示长方形和正方形的平面图形，然后问需要多少数据来描述它们的大小；再问一句，你觉得描述一个圆的大小需要多少数据？这就涉及到几个原因和几个结果的关系。在平时的练习中，经常会出现这样的判断题，让孩子感到很困惑。例如:
1.正方形的周长越大，面积就越大。(√)
2.长方形的周长越大，面积就越大。(×)
圆周越大，面积越大。(√)
？有时候面积和周长会互换做一个判断题。可以发现，也有几种因果，对孩子的数学理解能力要求非常高。在实际教学中，不通过理解来学习的孩子往往会晕头转向。当然，真正理解的孩子会说，“圆和正方形是一个条件就能决定的，而长方形需要两个因素互相调整才能解决问题。”从这一块再一次说明了学习数学重在理解，理解数学之后才有清晰的思路。
？回到为什么等底等高的圆锥体的体积不是圆柱体的一半的问题，这本质上是一个两因一果的问题。换句话说，不仅要考虑旋转前的等积，还要考虑旋转体到旋转轴的距离。
1.初步解释
？如上图7-24所示，矩形的BC边长为5cm，AB边长为3cm。假设矩形绕AB边旋转得到一个圆柱体，不难算出圆柱体的体积是75π，假设图7-24中矩形ABCD绕BC边旋转得到一个圆柱体，可以算出圆柱体的体积是45π。我们发现同一个矩形绕着不同的边旋转，体积不同。这充分说明，旋转前面积的大小并不是制约旋转后体积大小的唯一原因，旋转面还与离旋转轴的距离有关。如果把旋转后的体积看作是因果关系的结果，那么这个结果不是一个原因，至少是以上两个原因。
？古希腊后期的数学家帕普斯在他的《数学汇编》中记载了一个定理:如果一个平面封闭图形绕该图形的一条直线旋转一周，旋转体的体积等于初始曲面的面积乘以重心的周长。这个定理说明旋转体的体积是以下两个量的乘积:第一个是旋转前的面积；第二个是旋转面重心旋转的圆周长度。圆周的长度是由半径的长度决定的，所以可以说旋转体的体积是由旋转面的面积和旋转面重心到旋转轴的距离决定的。
2.图表的重心
这里所说的平面图形的重心是物理学中的一个概念。以上图中的矩形ABCD为例(AB=3，BC=5)。重心BC边到0.5cm的距离为1.5cm，重心到AB边的距离为2.5cm，如果这个矩形绕BC边旋转，那么帕普斯定理所说的重心旋转的周长为“2×1.5×π=3π”，矩形面积为”。如果这个矩形绕AB边旋转，旋转后的圆柱体体积也是(2×2.5×π)×(3×5)=75π。两个答案不一样的原因是重心到旋转轴的距离不一样。
？圆锥是由一个直角三角形绕着一个右侧旋转形成的，所以让我们来看看三角形的重心。
经过一系列的变换(六年级的孩子可以理解这个面积变换过程)，三角形重心可以概括为两句话:
(1)任意三角形的重心是三条中线的交点；
(2)任何三角形的重心都位于靠近底边的各条中线的平分线上。
3.疑问的解释
？如上图所示，上对角线AC、三角形ABD的中线DF和三角形BDC的中线BE被添加到矩形中。这样就分别求出了三角形BCD的重心n和三角形ABD的重心m。从重心n到旋转轴BC的距离是线段NH的长度，从重心m到旋转轴BC的距离是线段MG的长度。这两个距离是不同的。
？利用初中“相似三角形对应边成比例”的知识，可以知道线段NH的长度是线段AB的三分之一，线段MG的长度是AB的三分之二，所以三角形ABD的重心到旋转轴的距离是三角形BDC的两倍。
？由于任何圆的周长都与这个圆的半径成正比，所以三角形ABD的重心旋转的周长是三角形BDC的两倍。两个三角形的面积相等，重心旋转半径为2倍。根据帕普斯定理，三角形ABD旋转的体积是三角形BDC旋转的体积的2倍。如果三角形BDC的旋转体积是1，则三角形ABD的旋转体积是2，总份数是3。所以矩形ABCD旋转的圆柱体体积是三角形BDC旋转的圆锥体体积的三倍，反之，圆锥体体积是圆柱体体积的三分之一。至此，不仅解释了“为什么不是一半”的问题，也解释了“为什么不是三分之一”的问题。
因为在物理中用到图形的重心和初中的相似比，小学生还是很难完全理解。当然，在大学里，我们可以用微积分更好地理解圆锥体的体积公式。但是，知识的匮乏并不妨碍小学生探索知识背后的真相。数学应该鼓励孩子去探索和钻研...